Informática Educativa II: Projeto de Aprendizagem Publicado
Título do projeto: Recobrimento do plano com polígonos regulares
Nome dos participantes do grupo:
Célia Regina Pereira Rocha
Jucileide das Dores Lucas
Nelma Aparecida Gomes de Freitas
Objetivo do projeto:
O objetivo deste projeto é mostrar através de objetos de aprendizagem a execução do projeto “Recobrimento do plano com polígonos regulares” criado pelo grupo ALEPH, no curso de pós- graduação em Novas Tecnologias no Ensino da Matemática, oferecido pela UFF. E com o uso do software Tess planificar sólidos geométricos e manipular polígonos regulares a fim de recobrir o plano; encontrando assim qual o requisito usado para que certa combinação de polígonos cubra o plano.
A principal proposta do grupo ALEPH é o trabalho com polígonos regulares, revisando os conceitos já aprendidos e em seguida analisar e identificar os polígonos regulares adequados para revestir superfícies, identificando suas propriedades. Entre os demais objetivos podemos destacar a identificação do conceito semelhança em polígonos e poliedros; trabalhando a capacidade de organização de figuras geométricas; explorar recobrimento artístico com polígonos regulares tendo como exemplo os mosaicos e por fim identificar e criar figuras equidecomponíveis.
O primeiro objeto de aprendizagem visa fazer uma revisão sobre polígonos regulares e sua planificação. O outro objeto de aprendizagem publicado tem como objetivo identificar quais os polígonos regulares usados na construção de pavimentações regulares e o porquê de fazer uso dos mesmos.
Ao desenrolar da tarefa o objeto de aprendizagem oferece condições para que o aluno perceba que a pavimentação do plano pode ser formada por um ou pela união de vários polígonos. Em um momento posterior estimula a capacidade de estabelecer conjecturas através da observação e análise de elementos de um polígono, tais como: ângulo interno e central.
Link do projeto de aprendizagem publicado:• http://www.slideshare.net/moreninha_celia/slide-planificao-de-slidos-12853637
• http://www.slideshare.net/gomesnelma/pavimentaes-regulares-12927876
• http://www.slideshare.net/JucileideLucas/pavimentao-do-plano-com-polgonos
• http://geodinamica2012.blogspot.com.br
site da atividade proposta: http://www.uff.br/cdme/ppr/ppr-html/ppr-pr-br.html
PARTE 1
POLÍGONOS REGULARES
O aplicativo abaixo é interativo. Clique e arraste a bolinha azul para girar o polígono regular. Clique e arraste a bolinha preta para mudar o número de lados.
EXERCÍCIOS
Os exercícios enunciados abaixo também estão disponíveis no formulário de acompanhamento do aluno: ppr-aluno.rtf.
[01] Qual é o nome do polígono regular de 11 lados? E o de 27 lados?
Solução:
[02] Um quiliógono é um polígono com 1000 lados. Calcule a medida dos ângulos internos e ângulos centrais de um quiliógono regular.
Solução:
n=1000
A medida dos ângulos internos é dada por:
, logo: α=(( 1000-2)*180°)/1000=179.64°
A medida dos ângulos centrais é dada por:
, logo: θ=(360°)/1000=0,36°
[03] Ative as opções “Exibir ângulos internos” e “Exibir ângulos centrais” do aplicativo. Por que cada ângulo central tem medida
e cada ângulo interno tem medida
Em um polígono regular de n lados temos n ângulos centrais. A soma destes ângulos define uma volta completa na circunferência 360º. Logo, para definirmos a medida de um ângulo basta dividir 360° por n.
A soma dos ângulos internos de um polígono regular pode ser definida dividindo-se a figura com segmentos de reta que ligam cada vértice da figura a cada um dos outros. Desta forma, o polígono será dividido em n-2 triângulos, cada um com os ângulos internos somando 180°. Assim a somas dos ângulos internos do polígono será:
Como sabemos que em um polígono regular todos os ângulos são congruentes, para encontrarmos a medida de cada ângulo interno basta dividirmos a soma dos ângulos internos pelo número de lados, então α:
[04] Se R é a medida do raio do círculo circunscrito ao polígono regular, qual é a medida do raio r do círculo inscrito em função de R, θ e α?
Sendo:
R = medida do raio do círculo circunscrito
r = medida do raio do círculo inscrito
∝ = medida do ângulo interno
θ = medida do ângulo central
Podemos estabeler a relação,
r=R*sen ( ∝/2)
Parte II
Pavimentação do Plano com Polígonos Regulares de Um Só Tipo
01) Usando o software, verifique que é possível construir uma pavimentação lado-lado do plano usando triângulos equiláteros. Qual é a soma dos ângulos dos triângulos equiláteros com vértice em um nó da pavimentação?
A soma dos ângulos dos triângulos eqüiláteros com vértice em um nó da pavimentação é 360°. Pois, cada ângulo do triângulo eqüilátero mede 60°, como temos 6 ângulos num mesmo nó, temos 6 *60°=360°.
2) Usando o software, verifique que é possível construir uma pavimentação lado-lado do plano usando quadrados. Qual é a soma dos ângulos dos quadrados com vértice em um nó da pavimentação?
A soma dos ângulos dos quadrados com vértice em um nó da pavimentação é 360°. Pois, cada ângulo do quadrado mede 90°, como temos 4 ângulos num mesmo nó, temos: 4*90°=360°.
3) É possível construir uma pavimentação lado-lado do plano usando pentágonos regulares? Justifique sua resposta!
Solução:
Não. Pois como podemos ver na figura acima os lados do pentágono não se encaixam.
4) Usando o software, verifique que é possível construir uma pavimentação lado-lado do plano usando hexágonos regulares. Qual é a soma dos ângulos dos hexágonos regulares com vértice em um nó da pavimentação?
Sabemos que cada ângulo interno de um hexágono regular mede 120°, como o nó da pavimentação é formada por 3 ângulos, temos 3*120º = 360 °.
5) O objetivo deste exercício é provar que as únicas pavimentações lado-lado do plano com polígnos regulares de um só tipo são aquelas obtidas com triângulos equiláteros, quadrados e hexágonos regulares. Para isto, seja
α = (n − 2) 180°/n
a medida dos ângulos internos de um polígono regular com n lados (veja o Exercício [03] da Parte 1) e seja k o número de polígonos da pavimentação com um vértice comum.
Note que k α = 360°.
Verifique que k = 2n/(n − 2). Por que k deve ser maior do que ou igual a 3? Conclua que 2n/(n − 2) ≥ 3 e que, portanto, n ≤ 6. Assim, os únicos valores possíveis de n são 3, 4, 5 e 6. Mas pentágonos regulares não pavimentam o plano (Exercício [03]), portanto, as únicas pavimentações lado-lado do plano com polígonos regulares se um só tipo são aquelas com n = 3, n = 4 e n = 6.
Solução:
K tem que ser ≥ 3, pois:
Se K=2, k = 2n/(n − 2) ∄.
Se K≤2, K dá valor negativo, o que descaracteriza a atividade, uma vez que K representa o número de polígonos da pavimentação com um vértice em comum.
Nos casos onde n≥6, e n=5, k não representa um número inteiro.
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